Cristin-prosjekt-ID: 297116
Sist endret: 8. januar 2015 10:31
Cristin-prosjekt-ID: 297116
Sist endret: 8. januar 2015 10:31
Prosjekt

Ikke-kommutative geometri og kvantegrupper

prosjektleder

Lars Tuset
ved Allmenne fag ved OsloMet - storbyuniversitetet

prosjekteier / koordinerende forskningsansvarlig enhet

  • Allmenne fag ved OsloMet - storbyuniversitetet

Finansiering

  • Egen institusjon

  • Norges forskningsråd

Tidsramme

Avsluttet
Start: 1. august 2009 Slutt: 1. desember 2014

Beskrivelse Beskrivelse

Tittel

Ikke-kommutative geometri og kvantegrupper

Vitenskapelig sammendrag

Målet er å tilpasse og/eller gjennomføre Connes program for ikke-kommutative geometri for kvantegrupper og deres homogene rom. Dette er kvanterom. Med dette mener vi løst sagt rommet ned på elementærpartikkelnivå. Dets beskaffenhet og egenskaper er svært forskjellig fra det vi omgir oss med til daglig. Blant annet må det ha innebygget i seg Heisenbergs usikkerhetsrelasjon som sier at en partikkels posisjon og fart ikke kan bestemmes nøyaktig samtidig.

Connes har utviklet en geometri for slike kompliserte, ikke-intuitive rom blant annet for bedre å forstå materien på et fundamentalt nivå. Man ønsket også å finne et felles matematisk rammeverk for klassisk fysikk (som bygger på geometriske teorier) og kvantefysikk (som kan beskreves ved operatoralgebraer).

En gjennomføring av Connes program krever at aksiomer holder, og de har vist seg å være svært vanskelig å sjekke for kvantegrupper. Problemet har stått åpent i 20 år. Det skyldes hovedsaklig at man trengte en generalisering av Dirac operatoren som selv for vanlige rom er en nokså innfløkt konstruksjon. I fjor lyktes imidlertid Neshveyev og jeg å konstruere en slik generalisering, og vi kunne dermed vise at aksiomene til Connes faktisk holder. Dette var et gjennombrudd som har åpnet for en mengde nye problemer og spørsmål, ettersom vi nå kan studere disse kvanterommene med maskineriet til Connes for hånden.

Det mest nærliggende er å forsøke å generalisere det berømte Atiyah-Singer teoremet til denne settingen. Connes har et lignende teorem i sin mer generelle geometri, og vi ønsker å anvende dette på kvantegrupper, forhåpentligvis på en måte hvor vi forener de to teoremene og får noe som er mer beregnbart. (Relevante begreper her er K-teori og sykliske kosykler.) Nylig fant vi det vi mener er en farbar vei til dette problemet.

Et annet presserende problem er å konstruere en Dirac operator på kvantehomogene-rom. Man kan bruke Dirac operatoren på kvantegruppene til dette, men på den måten får man ikke akkurat det vi ønsker. Problemet må angripes annerledes. Lykkes vi med det i eksempelet med kvanteflaggmangfoldigheter, så følger det at den berømte Baum-Connes formodningen for kvantegrupper (slik den er formulert av Ralph-Nest) holder.

Sentralt i alt dette er noe vi kaller en Drinfeld tvist. Denne konstruerte vi ved kompliserte kategoriteoretiske metoder knyttet til arbeid av Kazhdan-Lusztig, og entydighet av tvist opp til randen av et centralt element følger av lignende metoder. Dette garanterer eksistens og entydighet av Dirac operatoren. Kophomologien som ligger bak alt dette ønsker vi å studerer grundigere, også med tanke på anvendelser mot kovirkninger av kvantegrupper, ogklassifisering av tensor kategorier etc.

Metode

Neshveyev og jeg har konstruert en Drinfeld tvist (etter Fieldsmedaljist Vladimir Drinfeld) for alle analytiske kvantegrupper som er deformasjoner av semisimple Lie grupper. Vi brukte et tungt resultat av Kazhdan-Lusztig som strekker seg over flere hundre sider fordelt på fem svært tekniske artikler. Dette resultatet viser at to tensorkategorier er ekvivalente. Fra dette lyktes vi med å konstruere en Drinfeld tvist, som er et fundamentalt, nytt resultat for (analytiske) kvantegrupper.

Denne Drinfeld tvisten kan brukes til å studere kovirkninger av kvantegrupper. I dette feltet gjenstår flere åpne problemer.

Ved å bruke vår Drinfeld tvist har vi konstruert en generalisering av Dirac operatoren på kvantegrupper som gir et ekvivariant spektraltrippel, og som garanterer at Connes aksiomer holder. Studiet av denne Drinfeld tvisten er derfor sentralt.

prosjektdeltakere

prosjektleder

Lars Tuset

  • Tilknyttet:
    Prosjektleder
    ved Allmenne fag ved OsloMet - storbyuniversitetet

Sergiy Neshveyev

  • Tilknyttet:
    Prosjektdeltaker
    ved Flere komplekse variable, logikk og operatoralgebraer ved Universitetet i Oslo
1 - 2 av 2

Resultater Resultater

Deformation of C*-algebras by cocycles on locally compact quantum groups.

Neshveyev, Sergey; Tuset, Lars. 2014, Advances in Mathematics. OSLOMET, UIOVitenskapelig artikkel

Compact quantum groups and their representation categories.

Neshveyev, Sergey; Tuset, Lars. 2013, OSLOMET, UIOVitenskapelig monografi

Autoequivalences of the Tensor Category of U(q)g-modules.

Neshveyev, Sergey; Tuset, Lars. 2012, International mathematics research notices . OSLOMET, UIOVitenskapelig artikkel

Quantized Algebras of Functions on Homogeneous Spaces with Poisson Stabilizers.

Neshveyev, Sergey; Tuset, Lars. 2012, Communications in Mathematical Physics. OSLOMET, UIOVitenskapelig artikkel

Quantum groups and spin-geometry.

Tuset, Lars. 2012, Operator algebra seminar. OSLOMETVitenskapelig foredrag
1 - 5 av 17 | Neste | Siste »